놀라운 장난감

추석에 어딘가를 갔다가, 한 애기가 가지고 있는 장난감을 보았다. 공처럼 생겨서 애기들이 그냥 가지고 노는 장난감인 줄로 생각하고 굴러다니는 것을 주워서 보았다.

이 공모양의 장난감의 외피는 갈라져 있었는데, 이것을 조작하면 색깔이 바뀌게 되어있다.

그런데 정말 놀라운 사실은 이 바뀌는 과정이 Poincare Duality 라는 것이다. Algebraic Topology라는 수학과 대학원과정에서 배우는 과목을 이해해야 Poincare Duality 정리가 뭔 지 알 수 있는데, 이 장난감이 바로 이 정리를 이용한 것이다. 심오한 정리도 간단한 사실에서 출발한 경우도 많기 때문에, 이 장난감을 만든 이가 Poincare Duality 정리를 알고 만들었는 지 아닌 지는 모르겠지만 어찌 되었든 놀라운 장난감이다.


그래서 나는 그 꼬마주인을 꼬드겨서 그 장난감을 얻어왔다.

수학과 대학원생들을 위한 학습용 보조재를 만날 수 있었다니 이번 추석에 받은 의외의 선물이다.

인증샷은 나중에.

 

덧글

  • puzzlist 2007/10/04 12:04 # 삭제 답글

    헉, 그게 왜 PD인지 꼭 알고 싶습니다!
    저희 애도 무슨 행사에서 그 장난감 공을 받았는데, "던지면 색이 바뀌어요"라는 말에 제가 던져봤다가 부서지는 바람에.... OTL
  • puzzlist 2007/10/04 12:10 # 삭제 답글

  • 별아저씨 2007/10/04 12:16 # 답글

    구로 되어 있지만 잘 보면 이 구가 4면제로 Triangulazation 되어 있음을 알 수 있습니다. 지금 그림이 없지만, 직접 보셨다니 설명을 일단 해 드릴께요. (인증샷이 없으니 불편하긴 하군요)

    이 장난감에서 사면체의 꼭지점은 삼각형모양으로 보이고 동그란 축을 중심으로 주위의 둥근 면은 사면체의 한 면에 해당합니다. 그런데 색깔이 바뀔 때 둥근 면은 다른 색의 꼭지점(구에서 삼각형 모양)으로 변화고 꼭지점근방은 다른 색깔의 면으로 바뀝니다. 바로 이 과정이 정확히 사면체의 PD에 해당하는 것이죠.

    Poincare의 쌍대정리에서 증명을 보면, Duality에 해당하는 부분이 Baricenter-mapping인데 그 과정이 바로 이 공의 색깔이 바뀌는 부분과 정확히 일치합니다.

    혹은,
    사면체 안에 각 면의 중심을 꼭지점으로 하는 다른 사면체를 생각하는 것이 PD라고 하면 쉽게 이해가 되시나요?

    별아저씨
  • 별아저씨 2007/10/04 12:19 # 답글

    네 올려주신 링크를 보니 그림이 맞네요.

    저는 이 페이지에 나온 그림들 중 두번째 행에 오른쪽 그림처럼 만들어서 "Poincare Flower"라고 이름 붙였습니다. 그리고 이 Poincare Flower들을 색색들이 모아서 Poincare Garden을 만들어볼까 합니다. :)
  • puzzlist 2007/10/04 15:33 # 삭제 답글

    아~ 정말 그렇네요. 설명 고맙습니다. ^^
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